Title: Intégrales impropres
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Q: À quelle condition nécessaire et suffisante l'intégrale
\[\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\]
converge?
A: JAMAIS!
Il y a un problème au voisinage de \(0\) si
\(s \geqslant 1\),
et un problème au voisinage de \(+\infty\) si
\(s \leqslant 1\).

Q: À quelle condition nécessaire et suffisante l'intégrale
\[\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\]
converge?
A: L'intégrale de Riemann \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) converge
si et seulement si \(s > 1\).
L'inégalité est stricte.

Q: À quelle condition nécessaire et suffisante l'intégrale
\[\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\]
converge?
A: L'intégrale de Riemann \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) converge
si et seulement si \(s < 1\).
L'inégalité est stricte.

Q: Définition.
Soit \(f:[a,+\infty[\to \mathbb{C}\) une application continue par morceaux.
L'intégrale \(\displaystyle\int_a^{+\infty}f\) est convergente si :
[...]Si tel est le cas, on note :
\[\displaystyle\int_a^{+\infty} f = [...].\]
A: \[\lim\limits_{x \to +\infty} \int_a^xf\]
existe, et est finie.; \lim\limits_{x \to +\infty} \int_a^x f

Théorème de comparaison 1.
Soient \(f : I \to \mathbb{R}\) et \(g : I \to \mathbb{R}\)
deux fonctions continues par morceaux et positives
telles que :
\[f \leqslant g.\]
Si :
\[\displaystyle\int_I f \textrm{ diverge,}\]
alors :
\[\displaystyle\int_I g \textrm{ diverge}.\]

Théorème de comparaison 1.
Soient \(f : I \to \mathbb{R}\textrm{ et }g : I \to \mathbb{R}\)
deux fonctions continues par morceaux et positives
telles que :
\[f \leqslant g.\]
Si
\[\displaystyle\int_I g  \textrm{ converge,}\]
alors
\[\displaystyle\int_I f  \textrm{ converge}.\]

Q: Théorème de comparaison 2.
Soient \(f : [a,b[ \to \mathbb{R}\textrm{ et }g : [a,b[ \to \mathbb{R}\)
deux fonctions [...]
telles que: \(f(x) = O\left(g(x)\right)\).
Si :
\[\displaystyle\int_a^b [...] \textrm{ converge }\]
alors :
\[\displaystyle\int_a^b [...] \textrm{ converge}.\]
A: continues par morceaux et positives; g; f

Q: Théorème de comparaison 3.
Soient \(f : [a,b[ \to \mathbb{R}\) et \(g : [a,b[ \to \mathbb{R}\)
deux fonctions [...]
telles que \(f(x) \sim g(x)\) pour tout \(x\) au voisinage de \(b\).
Alors :
[...]
A: continues par morceaux et positives; \[\displaystyle\int_a^b f \textrm{ et } \int_a^b g\]
sont de même nature.

Q: L'intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-at}\mathrm{d} t\) converge
si et seulement si : [...]
A: \(a > 0.\)

Démonstration de cours.
Soit \(s>1\).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) converge :
- On mentionne la continuité sur \([1,+\infty[\) de \(t \mapsto \frac{1}{t^s}\).
- On calcule
\[\displaystyle\int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{x^{-s+1} }{-s+1}-\frac{1}{-s+1}.\]
- Comme \(s-1>0\), on a
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{-s+1} }{-s+1} = 0,\]
et donc :
\[\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \lim_{x \to +\infty} \int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{1}{s-1} < +\infty.\]

Démonstration de cours.
Soit \(s<1\).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) converge :
- On mentionne la continuité sur \(]0,1]\) de \(t \mapsto \frac{1}{t^s}\).
- On calcule :
\[\displaystyle\int_x^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{1 }{-s+1}-\frac{x^{-s+1} }{-s+1}.\]
- Comme \(1-s>0\), on a :
\[\lim_{x \to 0} \frac{x^{-s+1} }{-s+1} = 0,\]
et donc :
\[\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \lim_{x \to 0} \int_x^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{1}{1-s} < +\infty.\]

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : [a,+\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = L \neq 0.\]
Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = L \neq 0\) alors pour tout \(t\) au voisinage de \(+\infty\) :
\[f(t) \sim \frac{L}{t^\alpha},\]
et :
\[\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t \textrm{ et }\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\textrm{ sont de même nature}.\]
Donc \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : [a,+\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = 0.\]
Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = 0\), alors pour tout \(t\) au voisinage de \(+\infty\) :
\[f(t) = o\left(\frac{1}{t^\alpha}\right).\]
Si \(\alpha > 1\) alors \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\) converge,
donc \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) converge par comparaison.
Si \(\alpha \leqslant 1\), on ne peut rien conclure.

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : [a,+\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = +\infty.\]
Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = +\infty\)
alors pour tout \(t\) assez grand :
\[t^\alpha f(t) \geqslant 1 \textrm{ donc } f(t) \geqslant \frac{1}{t^\alpha}.\]
Si \(\alpha \leqslant 1\) alors \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\) diverge,
donc \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) diverge par comparaison.
Si \(\alpha > 1\), on ne peut rien conclure.

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : ]0,1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to 0} t^\alpha f(t) = +\infty.\]
Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to 0} t^\alpha f(t) = +\infty\), alors pour tout \(t\) au voisinage de \(0\) :
\[t^\alpha f(t) \geqslant 1 \textrm{ et donc } f(t) \geqslant \frac{1}{t^\alpha}.\]
Si \(\alpha \geqslant 1\) alors \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\) diverge,
donc \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) diverge par comparaison.
Si \(\alpha < 1\), on ne peut rien conclure.

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : ]0,1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to +\infty} t^\alpha f(t) = 0.\]Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to 0} t^\alpha f(t) = 0\), alors pour \(t\) au voisinage de \(0\) :
\[f(t) = o\left(\frac{1}{t^\alpha}\right).\]
Si \(\alpha < 1\) alors \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\) converge,
donc \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) converge par comparaison.
Si \(\alpha \geqslant 1\), on ne peut rien conclure.

Q: Méthode « \(t^\alpha f(t)\) ».
Soient \(f : ]0,1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue par morceaux et positive,
et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
On suppose qu'on a :
\[\lim_{t \to 0} t^\alpha f(t) = L \neq 0.\]
Selon la valeur de \(\alpha\), qu'en déduit-on sur la nature de \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) ?
A: Si \(\lim\limits_{t \to 0} t^\alpha f(t) = L \neq 0\) alors pour tout \(t\) au voisinage de \(0\) :
\[f(t) \sim \frac{L}{t^\alpha},\]
et :
\[\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t \textrm{ et }\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^\alpha}\textrm{ sont de même nature.}\]
Donc \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\).

Exemple classique (intégrale de Gauß).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\mathrm{d} t\) converge :
- On mentionne la continuité sur \([0,+\infty[\) de \(t \mapsto e^{-t^2}\).
- On montre que :
\[ \lim_{t\to +\infty} t^2e^{-t^2} = 0\textrm{ (croissances comparées), donc : } e^{-t^2} = o\left(\frac{1}{t^2}\right).\]
- On sait que l'intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^2}\) converge car c'est une intégrale de Riemann d'exposant \(2>1\)},
et on conclut par comparaison.

Q: Reste d'une intégrale convergente.
Soit \(f : [a,b[ \to \mathbb{C}\) une fonction continue par morceaux,
où \(a \leqslant b \leqslant +\infty\).
Si \(\displaystyle\int_a^b f\) converge,
alors :
\[\lim\limits_{x \to b} \int_x^b f = [...].\]
A: 0

Démonstration de cours.
Soit \(s>1\).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) diverge :
- On calcule :
\[\displaystyle\int_x^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{1 }{-s+1}-\frac{x^{-s+1} }{-s+1}.\]
- Comme \(1-s<0\), on a :
\[\lim_{x \to 0} \frac{x^{-s+1} }{-s+1} = +\infty,\]
et donc :
\[\lim_{x \to 0}  \int_x^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = +\infty.\]

Démonstration de cours.
Soit \(s<1\).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t^s}\) diverge :
- On calcule :
\[\displaystyle\int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = \frac{x^{-s+1} }{-s+1}-\frac{1 }{-s+1}.\]
- Comme \(1-s>0\), on a :
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{-s+1} }{-s+1} = +\infty,\]
et donc :
\[\lim_{x \to +\infty}  \int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t^s} = +\infty.\]

Q: Démonstration de cours.
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{t}\) diverge :
- On calcule :
[...]
- On conclut :
\[\lim_{x \to +\infty} \int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t} =  [...].\]
A: \[\displaystyle\int_1^x \frac{\mathrm{d} t}{t} = \ln(x).\]; \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

Q: Nature d'une intégrale de référence.
L'intégrale \(\displaystyle\int_0^1\ln(t)\mathrm{d} t\) est [...]
A: convergente.

Q: Vrai ou faux.
Si :
\[\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0,\]
alors \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(t)\mathrm{d} t\) converge.
A: C'est abominablement faux.
Penser à \(f: t \mapsto \dfrac{1}{t}\) par exemple.

Q: Vrai ou faux.
Si :
\[\lim_{t \to 0} f(t) = +\infty,\]
alors \(\displaystyle\int_0^{1} f(t)\mathrm{d} t\) diverge.
A: C'est abominablement faux.
Penser à \(f : t\mapsto \ln(t)\) ou \(f : t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t}}\) par exemple.

Q: Vrai ou faux.
Si :
\[\displaystyle\int_I f(t)\mathrm{d} t \textrm{ converge absolument,}\]
alors :
\[\displaystyle\int_I f(t)\mathrm{d} t \textrm{ converge}.\]
A: C'est vrai.

Q: Vrai ou faux.
Si :
\[\displaystyle\int_I f(t)\mathrm{d} t \textrm{ converge},\]
alors :
\[\displaystyle\int_I f(t)\mathrm{d} t \textrm{ converge absolument}.\]
A: C'est faux.
Un contre-exemple fameux est donné par \(f : t \mapsto \dfrac{\sin(t)}{t}\) sur \([1,+\infty[\).

Q: Définition.
Soit \(f: I\to \mathbb{C}\) une application continue par morceaux.
On dit que \(f\) est intégrable sur \(I\) si
[...]
A: \[\displaystyle\int_I |f(t)|\mathrm{d} t\]
converge
(autrement dit: \(\displaystyle\int_I f(t)\mathrm{d} t\) converge absolument).
Ne pas oublier les valeurs absolues.

Q: Formule de l'intégration par parties (intégrales généralisées).
Soient \(f,g : I \to \mathbb{C}\) deux applications de classe \(\mathrm{C}^1\),
où \(I\) est un intervalle d'extrémités \(a\) et \(b\).
On suppose :
[...]
Alors :
- Les [...]
- En cas de convergence on a :
\[\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)\mathrm{d} x = [...].\]
A: \[\lim_{x \to a} f(x)g(x) < +\infty, \textrm{ et } \lim_{x \to b} f(x)g(x) < +\infty.\]; intégrales
\[\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)\mathrm{d} x\textrm{ et }\int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d} x\textrm{ sont de même nature.}\]; [f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d} x

Q: Exemple classique (fonction Gamma d'Euler).
Pour montrer que :
\[\displaystyle\int_0^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\mathrm{d} t\textrm{ converge } \Longleftrightarrow s > 0 :\]
- L'application [...]
- Au voisinage de \(+\infty\) :
\[[...]\]et on conclut par comparaison.
- Au voisinage de \(0\) :
[...]
A: \(t \mapsto  t^{s-1}e^{-t}\) est continue sur \(]0,+\infty[\).; \lim_{t\to +\infty} t^{s+1}e^{-t} = 0\textrm{ (croissances comparées), donc : } t^{s-1}e^{-t} = o\left(\frac{1}{t^2}\right),; \[t^{s-1}e^{-t} \sim t^{s-1} = \frac{1}{t^{1-s} },\]
or \(\displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d} t}{t^{1-s} }\) converge si et seulement si \(1-s<1\) : on conclut par comparaison.

Q: Exemple classique (fonction Gamma et factorielle).
Pour montrer :
\[\forall n \in \mathbb{N},\quad \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\mathrm{d} t = n!\]
- On raisonne par récurrence. Pour \(n=0\) :
\[\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d} t = [...] = 0!\]
- Hérédité : si c'est vrai au rang \(n\), on [...] et on obtient :
\[\displaystyle\int_0^{+\infty} t^{n+1} e^{-t}\mathrm{d} t = [...] = (n+1)!.\]
A: \left[-e^{-t}\right]_0^{+\infty} = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t}) - (-e^{-0}) = 1; intègre par parties; (n+1)\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\mathrm{d} t = (n+1) \times n!

Q: Exemple classique (intégrale de Dirichlet 1).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d} t\) converge :
- L'application \(t \mapsto \frac{\sin(t)}{t}\) est [...]
- On a, pour \(t\) au voisinage de \(0\) :
\[\frac{\sin(t)}{t} \sim [...]\]
donc [...]
A: continue sur \(]0,\pi]\).; \frac{t}{t} \longrightarrow 1,; prolongement par continuité sur le segment \([0,\pi]\), et
\[\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d} t\textrm{ converge}.\]

Exemple classique (intégrale de Dirichlet 2).
Pour montrer que l'intégrale \(\displaystyle\int_\pi^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d} t\) converge :
- L'application \(t \mapsto \frac{\sin(t)}{t}\) est continue sur \([\pi,+\infty[\).
- On fait une intégration par parties (bien vérifier les hypothèses : calculer \(\lim\limits_{t \to +\infty} -\frac{\cos(t)}{t} \) avec le théorème des gendarmes) et on obtient en cas de convergence :
\[\displaystyle\int_\pi^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\mathrm{d} t =  -\frac{1}{\pi}-\int_\pi^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\mathrm{d} t.\]
- On justifie que \( \displaystyle\int_\pi^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\mathrm{d} t \) converge avec la convergence absolue et par comparaison, car :
\[ \left|\frac{\cos(t)}{t^2}\right|  \leqslant \frac{1}{t^2} .\]

Q: Méthode.
Soit \(f : ]a,b[ \to \mathbb{R}\) une application continue par morceaux et positive.
Si on veut montrer que l'intégrale
\[\displaystyle\int_a^b f \textrm{ converge}\]
avec le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives,
il faut [...] car ce théorème de comparaison n'est valable que [...]
A: étudier séparément la nature de
\[\displaystyle\int_a^c f\textrm{ et } \int_c^b f\]
pour \(c \in ]a,b[\),; pour des intervalles semi-ouverts.

Q: Formule du changement de variable (intégrales généralisées).
Soient \(f : ]a,b[ \to \mathbb{C}\) une application continue par morceaux
et \(\varphi: ]\alpha,\beta[\to ]a,b[\) une [...]
Alors :
- Les intégrales :
\[\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d} x\textrm{ et } \int_{a}^{b} f(u)\mathrm{d} u\]
[...].
- En cas de convergence :
\[\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(x))\varphi'(x) \mathrm{d} x = \int_{a}^{b} f(u)\mathrm{d} u.\]
A: bijection strictement croissante et de classe \(\mathrm{C}^1\).; sont de même nature

Méthode.
Pour montrer qu'une fonction \(f : [a,b[ \to \mathbb{C}\) est intégrable sur \([a,b[\),
la méthode générique :
- On mentionne qu'elle est continue (par morceaux) sur \([a,b[\).
- On cherche un équivalent de \(f\) en \(b\), éventuellement avec un développement limité.
- Si \(b \neq +\infty\), et si cet équivalent donne une limite finie,
on en déduit que \(f\) se prolonge en une fonction continue sur le segment \([a,b]\), donc elle est intégrable.
- Sinon : on en déduit un équivalent de \(|f|\) (penser à la valeur absolue) à une fonction de référence (Riemann)
et on conclut par comparaison.
Si on n'a pas une fonction de référence : penser à la méthode \(t^\alpha f(t)\).
De même sur \(]a,b]\).

Q: Méthode (présence d'une exponentielle décroissante).
Pour montrer la convergence d'une intégrale de la forme :
\[\displaystyle\int_a^{+\infty}f(t)\exp(-t^\alpha) \mathrm{d} t\]
avec \(f\) qui croît moins vite que l'exponentielle (polynôme, logarithme, etc.),
quelle méthode utiliser ?
A: Après les vérifications de routine (continuité),
utiliser le théorème des croissances comparées :
\[\lim_{t \to +\infty} t^2 \left|f(t)\exp(-t^\alpha)\right| = 0,\textrm{ donc: } f(t)\exp(-t^\alpha) = o\left(\frac{1}{t^2}\right),\]
et conclure par comparaison (convergence absolue).